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2018-2019数学新学案同步实用课件选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.1

发布时间:

第三章 §1 椭 圆
1.1 椭圆及其标准方程

学*目标
1.理解椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程.

内容索引

问题导学 题型探究 达标检测

问题导学

知识点一 椭圆的定义 思考 给你两个图钉,一根无弹性的细绳,一张纸板,一支铅笔, 如何画出一个椭圆? 答案 在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大 于两图钉间的距离,笔尖贴*绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画 出椭圆.

梳理 (1)*面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2|) 的点的集合叫作 椭圆 .这两个定点叫作椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离 叫作椭圆的 焦距 . (2)椭圆的定义用集合语言叙述为: P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.

(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表:

条件

结论

2a>|F1F2| 2a=|F1F2| 2a<|F1F2|

动点的集合是椭圆 动点的集合是线段F1F2 动点不存在,因此集合为空集

知识点二 椭圆的标准方程
思考 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 答案 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定.

梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式

焦点位置

标准方程

焦点

焦距

焦点在x轴上 焦点在y轴上

ax22+by22 =1(a>b>0) ay22+bx22 =1(a>b>0)

F1(-c,0),F2(_c__,_0_)_

2c

F1 (0,-c) ,F2(0,c) 2c

(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

椭圆在坐标系中的位置

标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系

ax22+by22 =1(a>b>0)

ay22+bx22 =1(a>b>0)

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

b2=a2-c2

(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母 哪个更大一些,即“谁大在谁上”.如方程为 y52+x42=1的椭圆,焦点 在y轴上,而且可求出焦点坐标F1(0,-1),F2(0,1),焦距|F1F2|=2.

[思考辨析 判断正误] 1.已知F1(-4,0),F2(4,0),*面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点 的集合是椭圆.( × ) 2.已知F1(-4,0),F2(4,0),*面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点 的集合是椭圆.( × ) 3.*面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2 的距离之和的点的轨迹是椭圆.( √ ) 4.*面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离相等的点的集合是椭圆.( × )

题型探究

类型一 椭圆定义的应用
例1 点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知 圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹. 解 方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64,圆心为 (3,0),半径r=8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8, 根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|, 所以动点M的集合是椭圆.
解答

反思与感悟 (1)椭圆是在*面内定义的,所以“*面内”这一条件不能 忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (3)常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲 线是否为椭圆的限制条件.

跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是_②__.(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=2 椭圆;

的点P的集合为

②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的集合为线 段 解;析 ① 2 <2,故点P的轨迹不存在; ③ ②到因定为|点PFF11|(+-|P3F,02)|,=F|F21(F3,20|=)的4,距所离以相点等P的的点轨的迹集是合线为段椭F圆1F.2; ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直 *分线(y轴).

解析 答案

(2)已知一动圆M与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,与圆C2:(x-3)2+y2= 81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程.
解 由题意可知C1(-3,0),r1=1,C2(3,0),r2=9, 设M(x,y),半径为R, 则|MC1|=1+R,|MC2|=9-R, 故|MC1|+|MC2|=10>6=|C1C2|, 由椭圆定义知,点M的轨迹是一个以C1,C2为焦点的椭圆,且a=5, c=3,故b2=a2-c2=16. 故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为2x52 +1y62 =1.
解答

类型二 椭圆的标准方程 例 2 求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点 P????13,13????,Q????0,-12???? 的椭圆的标准方程.
解答

引申探究 求与椭圆2x52 +y92=1 有相同焦点,且过点(3, 15)的椭圆方程. 解 由题意可设其方程为25x+2 λ+9+y2 λ=1(λ>-9), 又椭圆过点(3, 15),将此点代入椭圆方程, 得λ=11(λ=-21舍去), 故所求的椭圆方程为3x62 +2y02 =1.
解答

反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y

轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).

(2)







x2 a2



y2 b2



1(a>b>0)























x2 a2+λ



y2 b2+λ



1(a>b>0,λ>-b2),与椭圆ay22+bx22=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为

a2y+2 λ+b2x+2 λ=1(a>b>0,λ>-b2).

跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-4,0),F2(4,0),椭圆上一点P到两焦 点的距离之和等于10; 解 设其标准方程为ax22+by22=1(a>b>0). 由题意可知2a=10,c=4,故b2=a2-c2=9, 故所求椭圆的标准方程为2x52 +y92=1.
解答

(2)椭圆过点(3,2),(5,1);

解 设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),

则?????92A5A++4BB= =11, ,

???A=931, 解得????B=1961.

故所求椭圆的标准方程为9x12 +9y12 =1.

3 16

解答

(3)椭圆的焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).

解 设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).

???a42=1, 由????b12=1,

解得?????ab22= =41, ,

故所求椭圆的标准方程为x42+y2=1.

解答

类型三 求与椭圆有关的轨迹方程 例3 已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三 角形的顶点A的轨迹方程.
解答

反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法 (1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义, 则可用定义直接求解. (2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式 后化简,得出动点的轨迹方程. (3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点的轨迹方程.

跟踪训练 3 如图,设定点 A(6,2),P 是椭圆2x52 +y92=1 上的动点,求线 段 AP 的中点 M 的轨迹方程.
解答

达标检测

1.椭圆2x52 +y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则点 P 到另一个焦点

的距离为

A.5

B.6

C.7

√D.8

解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,|PF1|=2, 结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.

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解析 答案

2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方

程为
√A.x42+y32=1

B.x42+y2=1

C.y42+x32=1

D.y42+x2=1

解析 c=1,a=12×( ?2+1?2+0+ ?2-1?2+0)=2,∴b2=a2-c2=3,

∴椭圆的标准方程为x42+y32=1.

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解析 答案

3.设F1,F2是椭圆 x92+y42=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2| =2∶1,则△F1PF2的面积=_4__. 解析 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5. ∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2,且|F1F2|=2 5, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴△PF1F2是直角三角形, 故△F1PF2 的面积为12|PF1|·|PF2|=12×2×4=4.

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解析 答案

4.在椭圆

x2 3

+y2=1中,有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆

反射后经过另一个焦点F1,再次被椭圆反射后又回到F2,则该粒子在整

个运动过程中经过的路程为__4___3___.

解析 把粒子运动轨迹表示出来,可知整个路程为 4a,即 4 3.

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解析 答案

5.若△ABC的三边长a,b,c成等差数列,且b=6,求顶点B的轨迹方程.
解 以直线AC为x轴,AC的中点为原点,建立*面直角坐标系,设A(- 3,0),C(3,0),B(x,y), 则|BC|+|AB|=a+c=2b=12>6=|AC|, ∴B点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆, 且a′=6,c′=3,b′2=27. 故所求的轨迹方程为3x62 +2y72 =1(y≠0).

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解答

规律与方法
1.*面内到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a, 当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.

2.所谓椭圆的标准方程,指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点. 在ax22+by22=1 与ay22+bx22=1 这两个标准方程中,都有 a>b>0 的要求,如方程xm2+yn2 =1(m>0,n>0,m≠n)就不能确定焦点在哪个轴上.分清两种形式的标准方程, 可与直线截距式ax+by=1 类比,如ax22+by22=1 中,由于 a>b,所以在 x 轴上的“截 距”更大,因而焦点在 x 轴上(即看 x2,y2 分母的大小). 3.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法:一是通过待定系数法求解, 二是通过椭圆的定义进行求解.




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