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2018-2019数学新学案同步实用选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.1

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第三章 §1 椭 圆 1.1 椭圆及其标准方程 学*目标 1.理解椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 椭圆的定义 思考 答案 给你两个图钉,一根无弹性的细绳,一张纸板,一支铅笔, 在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大 如何画出一个椭圆? 于两图钉间的距离,笔尖贴*绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画 出椭圆. 梳理 (1)*面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 常数 (大于|F1F2|) 的点的集合叫作 椭圆 .这两个定点叫作椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离 叫作椭圆的 焦距 . (2)椭圆的定义用集合语言叙述为: P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}. (3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表: 条件 2a>|F1F2| 2a=|F1F2| 结论 动点的集合是椭圆 动点的集合是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在,因此集合为空集 知识点二 椭圆的标准方程 思考 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 答案 不一定,只需a>b,a>c即可,b,c的大小关系不确定. 梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2 y2 =1(a>b>0) 2+ 2 a b y2 x2 2+ 2 =1(a>b>0) a b 焦点 F1(-c,0),F2______ (c,0) F1 (0,-c) ,F2(0,c) 焦距 2c 2c (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 x2 y2 2+ 2 =1(a>b>0) a b F1(-c,0),F2(c,0) y2 x2 2+ 2=1(a>b>0) a b F1(0,-c),F2(0,c) b2=a2-c2 (3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母 y2 x2 哪个更大一些,即“谁大在谁上”.如方程为 5 + 4 =1的椭圆,焦点 在y轴上,而且可求出焦点坐标F1(0,-1),F2(0,1),焦距|F1F2|=2. [思考辨析 判断正误] 1. 已知 F1( - 4,0) , F2(4,0) ,*面内到 F1 , F2 两点的距离之和等于 8 的点 的集合是椭圆.( × ) 2. 已知 F1( - 4,0) , F2(4,0) ,*面内到 F1 , F2 两点的距离之和等于 6 的点 的集合是椭圆.( × ) 3.*面内到点 F1( - 4,0) , F2(4,0) 两点的距离之和等于点 M(5,3) 到 F1 , F2 的距离之和的点的轨迹是椭圆.( √ ) 4.*面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离相等的点的集合是椭圆.( × ) 题型探究 类型一 例1 椭圆定义的应用 点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知 圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹. 解 方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64,圆心为 (3,0),半径r=8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8, 根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|, 所以动点M的集合是椭圆. 解答 反思与感悟 忽视. (1)椭圆是在*面内定义的,所以“*面内”这一条件不能 (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (3)常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲 线是否为椭圆的限制条件. 跟踪训练1 椭圆; ② 将所有真命题的序号都填上) (1)下列命题是真命题的是___.( 的点P的集合为 ①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|= 2 ②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的集合为线 段; 解析 ① 2 <2,故点P的轨迹不存在; ③到定点 F1|( - 3,0)|, 的距离相等的点的集合为椭圆 2(3,0) ②因为|PF + |PF =F |F F |= 4,所以点P的轨迹是线段F F. ; 1 2 1 2 1 2 ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直 *分线(y轴). 解析 答案 (2)已知一动圆M与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,与圆C2:(x-3)2+y2= 81内切,试求动圆圆心M的轨迹方程. 解 由题意可知C1(-3,0),r1=1,C2(3,0),r2=9, 设M(x,y),半径为R, 则|MC1|=1+R,|MC2|=9-R, 故|MC1|+|MC2|=10>6=|C1C2|, 由椭圆定义知,点M的轨迹是一个以C1,C2为焦点的椭圆,且a=5, c=3,故b2=a2-c2=16. x2 y2 故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为25+16=1. 解答 类型二 椭圆的标准方程 例2 求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点 ?1 ? 1? 1? ? ? ? ? , 0 ,- P?3 3?,Q? ? 2 ? ? ? ? 的椭圆的标准方程. 解答 引申探究 x2 y2 求与椭圆25+ 9 =1 有相同焦点,且过点(3, 15)的椭圆方程. x2 y2 解 由题意可设其方程为 + =1(λ>-9), 25+λ 9+λ 又椭圆过点(3, 15),将此点代入椭圆方程, 得λ=11(λ=-21舍去), x2 y2 故所求的椭圆方程为36+20=1. 解答 反思与感悟 (1) 若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在 x 轴上和在y 轴上两种情况讨论,也可



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