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复变函数*的题目问题解释第4章*的题目详解

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第四章*题详解

1. 下列数列 ?an ?是否收敛?如果收敛,求出它们的极限:

1)

an

?

1 ? ni ; 1? mi

2)

an

?

??1 ? ?

i ?? ?n ; 2?

3)

an

?

?? 1?n

?

n

i ?1



? n?i
4) an ? e 2 ;

5)

an

?

1

? n?i
e

2



n

?0, a ? 1

?

lim 2. 证明:

an

?

??, ?

a

?1

n??

?1, a ? 1

??不 存 在 ,a ? 1, a ? 1

3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:
? 1) ? i n ;
n?1 n

? 2) ? i n ;
n?2 ln n

? 3) ? ?6 ? 5i?n ;
n?0 8n

? 4) ? cos in 。 n?0 2n
4. 下列说法是否正确?为什么? 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;
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2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点;
3) 每一个在 z 0 连续的函数一定可以在 z 0 的邻域内展开成泰勒级数。

?
? 5. 幂级数 cn ?z ? 2?n 能否在 z ? 0收敛而在 z ? 3发散? n?0

6. 求下列幂级数的收敛半径:

? 1)

? n?1

zn np



p 为正整数);

? ? ? 2) ? n! 2 z n ;
n?1 nn
?
? 3) ?1 ? i?n z n ; n?0

? 4)

?

e

i? n

z

n



n?1

? 5) ? ch?? i ???z ? 1?n ; n?1 ? n ?

? 6)

?? ?

z

?n ?



n?1 ? ln in ?

?

?

? ? ? ? ? ? 7. 如果 cn z n 的收敛半径为 R ,证明 Re cn z n 的收敛半径 ? R。[提示: Re cn z n ? cn z n ]

n?0

n?0

lim ? ? 8. 证明:如果

cn?1 存在 ? ? ,下列三个幂级数有相同的收敛半径

c n?? n

cnzn ;

cn?1 z n?1 ; n?1

?ncn z n?1 。

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?

?

?

? ? ? 9. 设级数 cn 收敛,而 cn 发散,证明 cn z n 的收敛半径为1 。

n?0

n?0

n?0

?
? 10.如果级数 cn z n 在它的收敛圆的圆周上一点 z0 处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收 n?0 敛。
11.把下列各函数展开成 z 的幂级数,并指出它们的收敛半径: 1) 1 ;
1? z3

? ? 2)

1;

1? z2 2

3) cosz 2 ; 4) shz ; 5) chz ; 6) e z2 sin z 2 ;
z
7) e z?1 ;
8) sin 1 。 1? z

12.求下列各函数在指定点 z 0 处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径:

1)

z z

?1 ?1

, z0

?

1;

2)

?z

?

z
1??z

?

2? ,

z0

?

2;

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3)

1 z2

, z0

?

?1 ;

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4)

1 4 ? 3z

, z0

?

1?

i



5)

tgz ; z0

?

? 4



6) arctgz ; z0 ? 0 。

13.为什么在区域 z ? R 内解析且在区间 ?? R, R? 取实数值的函数 f ?z? 展开成 z 的幂级数时,展开式的
系数都是实数?

14.证 明 在 f ?z? ? cos?? z ? 1 ?? 以 z 的 各 幂 表 出 的 洛 朗 展 开 式 中 的 各 系 数 为
? z?

? 1
cn ? 2?

2? cos?2 cos??cosn?d? ,?n ? 0,?1,?2,? ?。[提示:在公式 ?4.4.8? 中,取 C 为 z ? 1 ,
0

在此圆上设积分变量? ? e i? 。然后证明 cn 的积分的虚部等于零。]

15. 下列结论是否正确? 用长除法得
z ? z ? z2 ? z3 ? z4 ?? 1? z

z

11 1

?1? ? ? ??

z?1

z z2 z3

因为 z ? z ? 0 1? z z?1

所以

?

?

1? z

1 z2

?

1 z3

?1?

z ? z2

? z3

? z4

??

?0

16. 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数:

? ? 1)

z2

?

1
1 ?z

?

2?



1

?

z

?

2;

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2)

1
z?1 ? z?2

,1 ?

z

? 1,0 ?

z?1

? 1;

3)

?z

?

1
1??z

?

2?



0

?

z?1

? 1,1 ?

z?2

? ?? ;

1
4) e 1?z , 1 ? z ? ?? ;

5)

z

2

1
?z ?

i

?

,在以

i

为中心的圆环域内;

6) sin 1 ,在 z ? 1的去心邻域内; 1? z

7)

?z ?z

? ?

1??z 3??z

? ?

2? 4?



3

?

z

? 4,4 ?

z

?

?? 。

17.函数 tg?? 1 ?? 能否在圆环域 0 ? z ? R?0 ? R ? ???展开成洛朗级数?为什么?
?z?

18.如果 k 为满足关系 k 2 ? 1 的实数,证明

?? kn
n?0

sin?n

?

1??

?

1?

s in ? 2k cos?

?

k2

??
n?0

kn

cos?n

?

1??

?

1?

cos? ? k 2k cos? ?

k

2

[提示:对 z ? k 展开 ?z ? k ??1 成洛朗级数,并在展开式的结果中置 z ? e i? ,再令两边的实部与实部
相等,虚部与虚部相等。]

? 19.如果 C 为正向圆周 z ? 3 ,求积分 f ?z?dz 的值。设 f ?z?为:
C

1)

z?z

1 ?

2?



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2)

z?2
?z ? 1?z



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3)

1;

z?z ? 1?2

4)

?z

?

z
1??z

?

2?



? ? 20.试求积分 ??? ? z n ???dz 的值,其中 C 为单位圆 z ? 1 内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。
?C n??2 ?

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