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考研数学笔记(精华版)

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3.柯西收敛准则:数列{xn}收敛的充要条件是:对于任意给定的正数 ε,都存 在正整数 N ,使得当 m,n>N 时,有|xm-xn|<ε。

高等数学
高中公式
三角函数公式 和差角公式 和差化积公式

1.3 函数的极限 性质:极限唯一性,局部有界性,局部保序性。 判别法则: 1. 夹 逼 法 则 : 若 lim f ( x) ? lim h( x) ? A , 且 存 在 x0 的 某 一 去 心 邻 域
x ? x0 x ? x0
o o

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin ? ? sin ? ? 2sin ? ? ? cos ? ? ? 2 2 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2cos sin tg? ? tg ? tg (? ? ? ) ? 2 2 1 tg? ? tg ? ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2cos cos ctg? ? ctg ? 1 2 2 ctg (? ? ? ) ? ctg ? ? ctg? ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? -2sin sin 2 2
积化和差公式 倍角公式

U ( x0 , ? ),使得?x ?U ( x0 , ? ) ,均有 f(x)≤g(x)≤h(x),则 lim g ( x) ? A 。
x ? x0

2.单调收敛原理:单调有界函数必收敛。 3. 柯西收敛准则:函数 f(x)收敛的充要条件是:?ε>0, ?>0, ?x’,x’’∈ 有|f(x’)-f(x’’)|<ε。

U ( x0 , ? )

o

,

4. 海 涅 (Heine) 归 结 原 则 : lim f ( x )? A 的 充 要 条 件 是 : 对 于 任 何 满 足
x ? x0

2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 2 2 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? 2 2 1 ? tan ? 1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 1 ? tan 2 ? 2 2tg? ctg 2? ? 1 1 ctg 2? ? cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] tg 2? ? 2 1 ? tg ? 2ctg? 2 sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
1 sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 cos 3? ? 4cos3 ? ? 3cos ?
3

limxn ? x0 的数列{xn},都有 lim f ( xn ) ? A 。
n ?? n ??

归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的, 例如可以挑选一个 收敛于该点的自变量 x 的数列{xn},而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛;或 者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n},而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)} 却具有不同的极限。 1.4 无穷小与无穷大 若 lim ? ( x) ? l , 当 ? 时 , 则 称 x→x0 时 称 α(x) 是 β(x) 的 l ?? 0 x ? x0 ? ( x )

?? 0 ??1 ?

tg 3? ?
半角公式

3tg? ? tg 3? 1 ? 3tg 2?

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ? ? cos ? ? 2 2 2 2
tg

? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? ?? ? ?   2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ?

? 高阶无穷小,记作? ( x) ? o( ? ( x)) ? ?同阶无穷小,记作? ( x) ? O( ? ( x)) ? 等阶无穷小,记作? ( x) ~ ? ( x) ?
常用等价无穷小

? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ? ctg ? ? ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ?
1 1 V棱柱 =SH V棱锥 = SH V棱台 = H(S+ SS ? +S?) 3 3

sin x?tan x?arcsin x?arctan x?e x ? 1ln(1 ? ? x) ~ x 1 1 ? cos x ~ x 2 ?(1 ? x) a ? 1 ~ ax?a x ? 1 ~ x ln a 2
若 f(x=0), f ’(0)≠0,则

?

x

0

f (t )dt

1 f ?(0) x 2 2

球的表面积:4πR2 球的体积: 4 椭圆面积:πab 椭球的体积: 4 ? abc ? R3 3 3

确定等价无穷小的方法:1.洛必达法则,2.泰勒公式 1.5 连续函数 极限存在?左右极限存在且相等。 连续?左右极限存在且相等,且等于该点函数值。 简断点:1.第一类间断点,左右极限不相等,或相等但不等于该点函数值;2. 左右极限至少有一个不存在。 闭区间上连续函数的性质:有界性,最值性,介值性,零点存在定理。 1.6 常见题型 求极限的方法:1.四则运算;2.换元和两个重要极限;3.等价无穷小替换;4. 泰勒公式;5.洛必达法则;6.利用函数极限求数列极限; 7.放缩法; 求极限 lim x ,就要将数列 xn 放大与缩小成:zn≤xn≤yn.
n ?? n

第 1 章 极限与连续
1.1 集合、映射、函数 空集,子集,有限集,无限集,可列集,积集,区间,邻域,上界,下界, 上有界集,下有界集,无界集,上确界,下确界 确界存在定理:凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。 映射,象,原象,定义域,值域,满映射,单映射,双射,函数,自变量, 因变量,基本初等函数 1.2 数列的极限 性质: 1. (唯一性)收敛数列的极限必唯一。 2. (有界性)收敛数列必为有界数列。 3. (子列不变性)若数列收敛于 a,则其任何子列也收敛于 a。 注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数, 仍不能保证原数列收敛。 注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a,且这两个子列合起来 就是原数列,则原数列也收敛于 a。 注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法,即用其逆否命题:若能从 该数列中选出两个具有不同极限的子列,则该数列必发散。 4. (对有限变动的不变性)若数列{xn}收敛于 a,则改变{xn}中的有限项所 得到的新数列仍收敛于 a。 5. (保序性)若 lim x ? a, lim y ? b ,且 a<b,则存在 N,当 n>N 时,有 n n
n ?? n ??

8.求递归数列的极限 (1)先证递归数列{an}收敛 (常用单调收敛原理) , 然后设 lim x
n ?? n

? A , 再对递

归方程 a

n ?1

? f (an ) 取极限得 A=f(A), 最后解出 A 即可。
n

(2) 先设 lim x
n ??

? A ,对递归方程取极限后 解得 A ,再用某种方法证明

xn<yn。 判别法则: 1.夹逼法则:若?N,当 n>N 时,xn≤yn≤zn,且 lim xn= lim zn=a, 则 lim yn =a。
n ??? n ??? n ???

lim an ? A 。
n ??

第 2 章 导数与微分
2.1 求导法则和求导公式 求导法则:

2.单调收敛原理:单调有界数列必收敛。 注:任何有界的数列必存在收敛的子数列。

1

1.四则运算法则 [αu(x)+ βv(x)]’=αu’(x)+ βv’(x)

[u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x)

第 3 章 中值定理和泰勒公式
3.1 中值定理 费马定理:若是 x0 是 f(x)的一个极值点,且 f’(x0)存在,则必有 f ’(x0)=0(可微 函数的极值点必为驻点), 1.罗尔定理:若函数 f(x)满足以下条件;(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间 (a,b)内可导;(iii)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点 ξ,使得 f’(ξ)=0. 2.拉格朗日定理:若函数 f(x)满足以下条件;(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开 区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点 ξ,使得

[

u ( x) u?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ]? ? v( x) v 2 ( x)

2.复合函数求导

( f [? ( x)])? ? f ?[? ( x)]? ?( x)
关键在于区分哪些是中间变量,哪些是自变量 3.反函数求导 4.隐函数求导 5.参数式求导

[ f ?1 (y )?]?

1 f ?( x)

f (b) ? f (a) ? f ?(? ) . b?a
3.柯西定理:若函数 f(x)和 g(x)满足以下条件;(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在 开区间(a,b)内可导;(iii) ?x∈(a,b),g’(x)≠0,则在(a,b)内至少存在一点 ξ,使得

? x ? x(t ) dy y?(t ) d 2 y y??(t ) x?(t ) ? y?(t ) x??(t ) , ? , 2 ? ? [ x?(t )]3 ? y ? y (t ) dx x?(t ) dx
6.对数求导法 7.分段函数求导 (1)按求导法则求连接点处的左右导数 设 3.2 泰勒公式 求泰勒公式的方法:

f (b) ? f (a) f ?(? ) ? g (b) ? g (a) g ?(? )

? g ( x), x ? ? ? x ? x0 ? ( x0 ) ? h? ? ( x0 ) ? A, 则f ?( x0 ) ? A. f ( x) ? ? , 若g ? ? h( x), x0 ? x ? x ? ?

1.泰勒公式(拉格朗日余项) : f ( x) ?

?
k ?0

n

f ( k ) ( x0 ) f ( n?1) (? ) ( x ? x0 )k ? ( x ? x0 )n?1 k! (n ? 1)!

2.常用麦克劳林公式(带拉格朗日余项)

(2) 按定义求连接点处的左右导数 设

ex ? 1 ?

? g ( x),??x ? ? ? x ? x0 g ( x)与f ( x)在点x0处无定义, ? f ( x) ? ? A,?????????????x ? x0 ,?? ? ( x0 )与h? ? ( x0 ) ? h( x),??x ? x ? x ? ? 可按定义求g ? 0 ?

x x2 ? ? 1! 2!

?

xn x n ?1 ? x ? e n ! (n ? 1)! ? (?1) n ?1 ? (?1) n x 2 n ?1 x 2 n ?1 ? (?1) n cos ? x (2n ? 1)! (2n ? 1)!

sin x ? x ? cos x ? 1 ?

x3 x5 ? ? 3! 5! x2 x4 ? ? 2! 4!

(3)对于

f ( x) ? f ( x0 ) lim ? g ( x), x ? x0 (1) f ?( x)很复杂,按定义求,f ?( x0 ) ? x ? x0 x ? x0 f ( x) ? ? ,?? ? A,??x ? x0 (2)否则,先求出f ?( x),再求 lim f ?( x)
x ? x0

x2n x 2n?2 ? (?1) n ?1 cos ? x (2n)! (2n ? 2)! xn x n ?1 ? (?1) n n (n ? 1)(1 ? ? x) n ?1 ?? ? ? ? ? n ?1 ? ? ( n ?1) ? ? ? xn ? ? ? x (1 ? ? x) ?n? ? n ? 1?

ln(1 ? x) ? x ?

x 2 x3 ? ? 2 3

? (?1) n ?1

8.变限积分求导

y??

? ( x)

? ( x)

f (t )dt ,

dy ? f (? ( x))? ?( x) ? f (? ( x))? ?( x) dx
(arcsin x)? ? 1

?? ? ?? ? ?? ? (1 ? x)? ? ? ? ? ? ? x ? ? ? x 2 ? ?0? ?1? ?2?

求导公式:

(C )? ? 0

1 ? x2 1 (tan x)? ? sec 2 x (arccos x)? ? ? (a x )? ? a x ln a 1 ? x2 2 ? 1 (ctgx) ? ? csc x 1 (log a x)? ? ? x ln a (sec x)? ? sec x ? tan x (arctgx) ? 1 ? x 2 (csc x)? ? ? csc x ? ctgx 1 (arcctgx)? ? ? 1 ? x2

( x ? )? ? ? x ? ?1

(sin x)? ? cos x (cos x)? ? ? sin x

1 ? 1 ? x ? x 2 ? ... ? (?1) n x n ? (?1) n ?1 x n ?1 (1 ? ? x) ?1?( n ?1) 1? x 1 ? 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ? x n ?1 (1 ? ? x) ?1?( n ?1) 1? x 1 n ? ( n ?1) 1 (2k ? 3)!! k (2n ? 1)!! n ?1 1 ? x ? 1 ? x ? ? (?1) k ?1 x ?(?1) n x (1 ? ? x) 2 2 (2k )!! (2n ? 2)!! k ?2
3.逐项求导或逐项积分 若 φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来, f ( x) ? ? ?( x)或f ( x) ? ? ? (t )dt ,
x0 x

然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到 f(x)的泰勒公式。 例如: arctan x ?

2.2 高阶导数和高阶微分 求高阶导数的方法: 1.莱布尼茨(Leibniz)公式: 2.常用公式
k (k ) (u ( x)v( x))( n ) ? ? Cn u ( x )v ( n ? k ) ( x ) k ?0 n

? 1? t
0

x

1

2

x 1 1 dt ? ? (1 ? t 2 ? t 4 )dt ? o( x5 ) ? x ? x3 ? x5 ? o( x5 ) 0 3 5

3.3 函数的极值、最值 驻点,导数不存在的点为极值可疑点。 驻点,导数不存在的点,端点为最值可疑点。 极值判别法则: 1.设点 x0 为函数 f(x)的极值可疑点,f(x)在点 x0 的邻域内连续,去心邻域内可 微,如果在(x0-δ,x0)内 f’(x0)≥0,在 (x0,x0+δ)内 f’(x0)≤0,则 x0 必为 f(x)的极大 值点。反之必为极小值点。 2.若点 x0 是 f(x)的驻点且 f’’(x0)存在,则当 f’’(x0)>0(<0)时,x0 必为 f(x)的极小 (大)值点。 3.设函数 f(x)在点 x0 处有 n 阶导数,且 f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ... ? f ( n?1) ( x0 ) ? 0 , 但 f ( n ) ( x0 ) ? 0 ,则(i)当 n 为偶数时,f(x)在点 x0 处取极值,当 f ( n ) ( x0 ) ? 0 时 取极小值,当 f ( n ) ( x0 ) ? 0 时取极大值;(ii)当 n 为奇数时 f(x0)不是极值。 3.4 函数作图 定理:设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b] 上是凸(凹)函数的充要条件是:1.f’(x) 在开区间(a,b)内单调递减(增) 。 2. f(λx1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1). 3. f’’(x0)≤(≥)0. 若函数 f(x)在点 x0 处凹凸性相反,则点 x0 称为 f(x)的拐点。 拐点的必要条件:f’(x0)=0 或 f’(x0)不存在。 拐点的充要条件:f ’’(x)经过时变号。 渐*线:1.垂直渐*线:x=a 是垂直渐*线? lim ? ? 或 lim ? ? .
x ?a ? 0 x ?a ? 0

(e

ax ?b ( n )

)

?a e

n ax ?b

(sin(ax ? b))( n ) ? a n sin(ax ? b ?

n ?) 2

n (cos(ax ? b))( n ) ? a n cos(ax ? b ? ? ) 2

((ax ? b)? )( n) ? an ? (? ?1)...(? ? n ? 1)(ax ? b)? ?n
( 1 (n) (?1) n n ! ) ? an ax ? b (ax ? b)n ?1
1 (ax ? b)n

(ln(ax ? b))( n ) ? a n (?1) n ?1 (n ? 1)!
3.分解法 分解为上述初等函数之和

2

2.斜渐*线:f(x)=ax+b, a ?

x ???

lim

f ( x) , b ? lim ( f ( x) ? ax) 或 x ??? x

(3)

?x

2

Mx+N Mx+N (4) dx ; ? ( x2 ? px ? q)n dx ? px ? q

a ? lim

x ???

f ( x) 。 , b ? lim ( f ( x) ? ax) (水*渐*线为其特例) x ??? x

In ? ?

dx 1 x 2n ? 3 ? ? ? I n?1 ( x2 ? a 2 )n 2a 2 (n ? 1) ( x 2 ? a 2 )n?1 2a 2 (n ? 1)

函数作图的步骤: 1. 确定函数的定义域; 2. 观察函数的某些特性,奇偶性,周期性等; 3. 判断函数是否有渐*线,如有,求出渐*线; 4. 确定函数的单调区间,极值,凹凸区间,拐点,并列表; 5. 适当确定一些特殊点的函数值; 6. 根据上面提供的数据,作图。

三角函数有理式的积分一般用万能代换 tan x ? t ,对于如下

2

形式可以采用更灵活的代换: 对于积分 R(sin 2 x, cos 2 x)dx ,可令 tanx=t; 对于积分 R(sin x) cos xdx ,可令 sinx=t; 对于积分 R(cos x)sin xdx ,可令 cosx=t,等等。 某些可化为有理函数的积分

第 4 章 积分
4.1 不定积分 4.1.1.基本积分表
? ? x dx ?

?

? ?

1. R( x, n ax ? b )dx 型积分,其中 n>1,其中 ad ≠bc。

1 ? ?1 1 1 x x ? C????? dx ? ln | x | ?C????? a x dx ? a ?C ? ?1 x ln a

?

cx ? d

? sin xdx ? ? cos x ? C????? cos xdx ? sin x ? C ? tan xdx ? ? ln | cos x | ?C????? cot xdx ? ln | sin x | ?C ? sec xdx ? ln | sec x ? tan x | ?C ? csc xdx ? ? ln | csc x ? cot x?? ?C?? ln | csc x ? cot x?? ?C?? ln | tan 2 | ?C ? sec xdx ? tan x ? C????? csc xdx ? ? cot x ? C ? tan x sec xdx ? sec x ? C????? csc x cot xdx ? ? csc x ? C
2 2

这里的关键问题是消去根号,可令

ax ? b 。 ?t cx ? d

2. ? R( x, ax 2 ? bx ? cdx
x

型 积 分 , 其 中 b2 ? 4ac ? 0 , a ≠0 。 由 于

ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

b 2 4ac ? b 2 ,故此类型积分可以化为以下三种类型: ) ? 2a 4a 2

1 dx ? arcsin x ? C或 ? arccos x ? C 1 ? x2 1 ? 1 ? x2 dx ? arctan x ? C或 ? arc cot x ? C

?

? R(u, ? R(u, ? R(u,

k 2 ? u 2 )dx ,可用三角替换 u ? k sin t ; u 2 ? k 2 )dx ,可用三角替换 u ? k sec t ; u 2 ? k 2 )dx ,可用三角替换 u ? k tan t 。
1 tan n?1 x ? I n?2 n ?1

I n ? ? tan n xdx ?

1 1 x 1 x dx ? arctan ? C????????? dx ? arcsin ? C ? x2 a a a a2 ? x2 1 1 a?x 1 2 2 ? a 2 ? x 2 dx ? 2a ln | a ? x | ?C????? x2 ? a 2 dx ? ln | x ? x ? a | ?C

?a

2

2 2 2 1 倒代换: 1 ? x , 1? x , 由此还可以求出 dx , x 4 dx ? 1 ? x 4 dx 1 ? x 4 dx 1 ? x4 1? x

?

?

?

1 1 x?a 1 2 2 ? x2 ? a 2 dx ? 2a ln | x ? a | ?C????? x2 ? a 2 dx ? ln( x ? x ? a ) ? C x 2 2 a2 x 2 2 ? a ? x dx ? 2 a ? x ? 2 arcsin a ? C x 2 2 a2 2 2 2 2 ? x ? a dx ? 2 x ? a ? 2 ln x ? x ? a ? C x 2 2 a2 2 2 2 2 ? x ? a dx ? 2 x ? a ? 2 ln( x ? x ? a ) ? C e ax ax ? e cos bxdx ? a 2 ? b2 (a cos bx ? b sin bx) ? C eax ax ? e sin bxdx ? a 2 ? b2 (a sin bx ? b cos bx) ? C

?

a1 sin x ? b1 cos x dx, (a 2 ? b2 ? 0) a sin x ? b cos x

解 : 设 a sin x ? b cos x ? A(a sin x ? b cos x) ? B(a cos x ? b sin x) , 为 此 应 有 1 1

?aA ? bB ? a1 ,解得 aa1 ? bb1 ab1 ? ba1 ,故 A? 2 ,B ? 2 ? a ? b2 a ? b2 ?bA ? aB ? b1

?
?

a1 sin x ? b1 cos x (a sin x ? b cos x)? dx ? A ? dx ? B ? dx a sin x ? b cos x a sin x ? b cos x aa1 ? bb1 ab1 ? ba1 x? 2 ln | a sin x ? b cos x | ?C a 2 ? b2 a ? b2

e
不可积的几个初等函数:

? x2

1 sin x cos x sin x 2 cos x 2 ln x x x

4.2 定积分 4.2.1.可积条件 可积的必要条件:若函数 f(x)在闭区间[a,b]上可积,则 f(x)在[a,b]上有界。 可积函数类:闭区间上的连续函数,单调函数,有界且只有有限个间断点。 4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法

4.1.2.换元积分法和分部积分法 换元积分法: 1.第一类换元积分法,即凑微分法,合并。 2.第二类换元积分法,拆分。 分部积分法: u ( x)v?( x)dx ? u ( x)v( x) ? u?( x)v( x)dx 4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分

?

?

?

b

a

f ( x)dx ? ? f (? (t ))? ?(t )dx
?

?

从右到左,相当于不定积分的第一类换元积分法,从左到右,相当于第二类 换元积分法。 2.分部积分法

有理函数

R( x) ?

P( x) 的积分可以归结为下列四种简单分式的积分: Q( x)

?

b

a

? u( x)v?( x)dx ? u( x)v( x) |b a ? ? u ( x)v( x)dx
a
n

b

常见的积分和式

A A (1) (2) ? x ? a dx ; ? ( x ? a)n dx ;

? ?

b

a b

f ( x)dx ? lim ? f (a ?
n ?? i ?1 n

a

f ( x)dx ? lim ?
n ?? i ?1

i (b ? a) (b ? a) ) n n (i ? 1)(b ? a ) (b ? a ) f (a ? ) n n

3

lim ?
n ?? i ?1

n

1 1 i f ( ) ? ? f ( x)dx 0 n n

?

??

??

e? x dx ? ?
2

? ?

?

2 0

f (sin x) dx ? ? 2 f (cos x) dx
0

?

第 5 章 无穷级数
常数项级数敛散性的判定
?

?

0

f (sin x) dx ? 2 ? 2 f (sin x) dx
0

?

?

?

0

xf (sin x)dx ?
?

?

1.若 lim u ? 0 ,级数发散,等于零,需进一步判定。 n
n ??
?

2?
?

?

0

f (sin x)dx ? ? ? 2 f (sin x) dx
0

2.若

I n ? ? 2 sin n xdx ? ? 2 cos n xdx, I n ?
0 0

n ?1 I n?2 n

?u
n ?1

为正项级数,根据一般项的特点选择相应判别法:
n

使用分部积分法的常见题型: 被积函数的形式 所用方法 进行 n 次分部积分,每次均取 3. 若

①一般项中含有 n!或 n 的乘积形式,采用比值判别法; ②一般项中含有以 n 为指数幂的因子,采用根值判别法; ③一般项中含有形如 nα(α 不一定是整数)的因子,采用比较判别法; ④利用已知敛散性的结果,结合级数的性质,判别其敛散性; ⑤采用定义,部分和数列{Sn}有上界。

Pn ( x)ex , Pn ( x)sin x, Pn ( x)cos x
Pn ( x)ln x, Pn ( x)arc sin x, Pn ( x)arctan x

e ,sin ? x,cos ? x 为 v?( x)
?x

?u
n ?1

?

为任意级数,若其为交错级数,采用莱布尼茨判别法,若不为交
n

取 Pn ( x) 为 v?( x) 取 e? x 为 v?( x) ,进行两次分部积分

错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件,采用比值判别法和根 值判别法。 求函数项级数的收敛域: (1) 比值法

e? x sin ? x, e? x cos ? x
4.2.3.定积分的应用 (1)*面图形的面积

lim |
n ??

un?1 ( x) ; (2) 根值法 lim n u ( x) ? 1 。 |? 1 n n ?? un ( x )

求幂级数的收敛域: (1)比值法

lim |
n ??

dS ? f ( x)dx ? ? ( y)dy ?
(2)旋转体的体积
2 2

1 2 r (? )d? 2

an?1 u ( x) ; |? ? 或 lim | n?1 |? 1 n ?? an un ( x )

(2)根值法 lim n | a | =? 或 lim n u ( x) ? 1 。 n n
n ?? n ??

dV ? ? f ( x)dx ? ?? ( y)dy ? 2? xf ( x)dx
(3)弧长、曲率 弧微分公式: ds ?

常数项级数的求和:1.直接计算部分和 Sn,然后求极限; 2.利用相应的幂级数。 幂级数的求和:利用逐项求导,逐项积分,四则运算等手段,将其化为可求

(dx)2 ? (dy)2 ? 1 ? f ?2 ( x)dx ? 1 ? ? ?2 ( y)dy
| y?? | (1 ? y?2 )3/2

? x?2 (t ) ? y?2 (t )dt ? r 2 (? ) ? r ?2 (? )d? d? | y??(t ) x?(t ) ? y?(t ) x??(t ) | 曲率:
K ?| ds |? [ x?2 (t ) ? y?2 (t )]3/2
(4)静矩、转动惯量 mr, (5) mr2

?

和形式(即前面的麦克劳林公式) 。 求函数的幂级数展开式:就是求泰勒公式(前面有求泰勒公式的三个方法) 。

f ( x) ?
m1m2 r2
傅立叶级数

a0 ? 2

引力??F ? G

? (a
n ?1

?

, ? an ?

n

cos nx ? bn sin nx)

①均匀细杆质量为 M,长度为 l,在杆的延长线上离右端为 a 处有一质量为 m 的质点,则质点与细杆之间的引力为 F=kMm/a(a+l). ②均匀圆环质量为 M,半径为 r,在圆心的正上方距离为 b 处有一质量为 m 的质点,则质点与均匀圆环之间的引力为

1 ? ? f ( x) cos nxdx ? ? ??? ? ? b ? 1 ? f ( x) sin nxdx n ? ? ??? ?

F=

kMmb (r ? b )
2 2 3 2

.

狄利克雷充分条件

③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。 4.3 广义积分 广义积分审敛法 1.比较法 f(x)≤kg(x),k≥0 2.比较法的极限形式
x ???

? ? f ( x),续点 ? f ( x ? 0) ? f ( x ? 0) ? S ( x) ? ? ,间断点 2 ? ?1 [ f (?? ? 0) ? f (? ? 0)],x ? ?? ? ?2
?当 | q |? 1时收敛 2.p-级数 ? 1 ?当p ? 1时收敛 ? ? p ? n ?1 n ?当 | q |? 1时发散 ?当p ? 1时发散

几个重要的级数 1.几何级数

lim

f ( x) ?k g ( x)

? aq
n ?1

?

n ?1

3.

3.柯西收敛准则 |

?

A??

A?

f ( x)dx |? ?

?当p ? 1时收敛 1 = ? ? p n ?当p ? 1时发散 n ? 2 n ln
??

4.

? n! ? e
n ?0

??

1

5.

?n
n ?1

??

1
2

?

?2
6

几个常见的广义积分

第 6 章 微分方程
1. 可分离变量方程 dy

1.?

??

a ??

b ?收敛, p ? 1 ?收敛, p ? 1 dx dx ,a ? 0? ; ????????????? ,a ? 0? a ( x ? a) p xp 发散 , p ? 1 ? ?发散, p ? 1 ?? k ?收敛, p ? 1 ?收敛, ? ? 0 dx , a ? 1? ; ??????? x e? ? x dx, k ? 0 ? a x ln p x ?发散, p ? 1 ?发散, ? ? 0

dx
2.

? g ( x ) h( y )

3.?

a

I ??

??

0

1 x? 1 ? dx t I= ? (1 ? x )(1 ? x ) 4 ?
2

dy y ? 齐次方程?? ? f ( x, y ) ? ? ( )?????????????????????????? 可化为可分离变 ? dx x ? ? 量方程的方程 ?可化为齐次方程的方程?? dy ? f ( a1 x ? b1 y ? c1 ) dx a2 x ? b2 y ? c2 ? ?

3.一阶线性方程 dy ? P( x) y ? Q( y )?? y ? e? ? P ( x ) dx (C ? ? Q( x)e ? P ( x ) dx dx)

dx

4

4.伯努利方程 dy

dx

? P( x) y ? Q( x) y? ??令y ? z1?? ?

dz ? (1 ? ? ) P( x) z ? (1 ? ? )Q( x) dx

两*面夹角? ? cos ? ? 两直线夹角?
点到直线的距离 d

| A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 |
2 A ? B12 ? C12 A2 2 ? B2 2 ? C2 2 1

? sin ? (*面与直线的夹角)

5.全微分方程 特殊路径法,凑微分法 6. 可降阶的 ? 不含y?? y?? ? f ( x, y?)??令p ? y?, y?? ?

?

? ? ? 高阶方程 ? 不含x?? y?? ? f ( y, y?)???令p ? y?, y?? ? ? ?

dp dx dp y ? dy

| Ax0 ? By0 ? Cz0 | 点到直线的距离 | p p ?s| d? 1 0 2 2 2 |s| A ? B ?C

7.

? ? (1)已知y1?????????????????????????????? 二阶齐次 ? 线? ? y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? 0 ?(2)令y2 ? u ( x) y1,代入求出y2 ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?(3) y ? c y ? c y ?????????????????????? 性? 1 1 2 2 ? ? 微? (1) 求出对应齐次方程的 y1 , y2 ????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? 分? ? ? 二阶非齐次 ? u ?y ? u ?y ? 0 方? (2)令y* ? u1 ( x) y1 ( x) ? u2 ( x) y2 ( x), 求出u1 , u2 ? 1 1 2 2 ? ? y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? f ( x) ? ?u1? y1? ? u2? y2? ? f ( x) ? 程? ? * ? ?(3) y ? c1 y1 ? c2 y2 ? y ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?
8.常系数线性微分方程 二阶齐次 特征方程的根 微分方程的 线性无关解 互异实根 微分方程的 通解

y?? ? p( x) y? ? q ( x) y ? 0

e ,e

r 1x

r2 x

y ? c1er1x ? c2er2 x (c1 ? c2 x)erx e? x (c1 cos ? x ? c2 sin ? x)

? x2 z 2 x2 z 2 2 ? 柱面:椭圆柱面 2 ? 2 ? 1?双曲柱面 2 - 2 ? 1?抛物柱面x ? 2 pz??????????????????????? a b a b ? x2 y 2 z 2 ? 2 2 2 2 ? 球面x ? y ? z ? R ??椎面 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0??????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? x ? x 2 (t ) ? y 2 (t ) cos ? ? ? x ? x(t ) ? ? ? 绕z轴旋转 ? y ? y (t ) ?? ?? ? ? y ? x 2 (t ) ? y 2 (t ) sin ? ?? ? ? ? z ? z (t ) ? 常? z ? z (t ) ? ? ? ? 见? ? ? x 2 +y 2 z 2 二? ? 旋转椭园面 2 ? 2 ? 1 ? ?旋转面 a b 次? ? x 2 +y 2 z 2 ? 曲? f ( x , z ) ? ? 旋转双 2 ? 2 ? 1(单叶) 绕z轴旋转 ???? ? f (? x 2 ? y 2 , z ) ? 0??? ? a b ? 线? ? y?0 2 2 ? x y ? z2 ? ?曲面???? 2 ? 2 ? 1(双叶) ? a b ? 2 2 ? ? ? 旋转抛物面x ? y ? 2 pz ? ? ? x2 y 2 ? 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2 ? ? z (椭圆) ?椭球面 x ? y ? z ? 1?双曲面 x ? y ? z ? ?1? 单 ??抛物面 ? a b ? 2 2 ? ? ? a2 b2 c2 a 2 b2 c2 ?双? ? x - y ? ? z (双曲) ? ? ? a 2 b2 ?

r1,r2
二重实根

erx , xerx

第 8 章 多元函数微分学
复合函数微分法,关键在于确定哪些是中间变量,哪些是自变量

r1=r2=r
共轭复根

e? x cos ? x, e? x sin ? x

r1,2=α±iβ
二阶非齐次 (1)求对应齐次方程的 y1,y2 (2) 令y* ? Q( x)e
?x

y?? ? p( x) y? ? q ( x) y ? f ( x )

? x k ( A0 ? A1 x ? ... ? Am x m )e? x

Q??( x) ? (2? ? p)Q?( x) ? (? 2 ? p? ? q)Q( x) ? pm ( x)
(3) y ? c y ? c y ? y* 1 1 2 2

9.欧拉方程

?y ? Fxi ? ?由方程确定的隐函数?F ( x1 , x2 ,..., xn ) ? ?x ? F ???????????????????????????????? i y ? ?? 隐? du 1 ? ( F , G ) ? ? ?? ? dx ? ? J ? ( x, v) F ( x , u , v ) ? 0 函? ? ?? ?? ?????????????????????????????????? ?? G ( x, u, v) ? 0 ? dv 1 ?( F , G) 数? ? ? ?? ?? ? ? J ? (u , x) 微 ?由方程组确 ?? ? dx ? 分 ?定的隐函数 ? ? 1 ? ( F , G ) du 1 ?( F , G) ? ?u ? ? ? ? J ? ( x, v) , ?y ? ? J ? ( y, v) ?? 法? ? F ( x, y, u , v) ? 0 ? ?x ?? ?? ? ? ?G ( x, y, u, v) ? 0 ? ?v ? ? 1 ? ( F , G ) , ?v ? ? 1 ?( F , G ) ? ?? ? J ? (u , x) ?y J ? (u , y ) ? ? ?x ?? ?

x n y ( n ) ? p1 x n ?1 y ( n ?1) ? ... ? pn ?1 xy? ? pn y ? f ( x) dk 令x ? e , D ? k , 则x k y ( k ) ? D( D ? 1)...( D ? k ? 1) y dt ?[ D( D ? 1)...( D ? n ? 1) ? p1 D( D ? 1)...( D ? n ? 2) ? ... ? pn ?1D] y ? f (et )
t k

( Fx ( P0 ), Fy ( P0 ), Fz ( P0 )) ( x?(t0 ), y?(t0 ), z?(t0 )) 曲线的切线 ??? y?( x0 ), z?( x0 ) ??????????????? 曲面的切*面 ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), ?1) 和法线 和法*面 ? ( F , G ) ?( F , G ) ?( F , G) ? ( y , z ) ? ( z , x ) ? ( x, y ) ( , , ) ( , , ) ? ( y , z ) ? ( z , x ) ? ( x, y ) ? (u, v) ?(u, v) ?(u, v)
二元函数泰勒公式
n

第 7 章 向量代数与空间解析几何
i 叉积 a ? b ? ax bx j ay by k ax 混合积 az ??(a, b, c) ? (a ? b) ? c = bx bz cx ay by cy az bz cz

f ( x0 ? h, y0 ? l ) ? ?
k ?0

(h

? ? ? ? ? l )( k ) (h ? l )( n?1) ?x ?y ?x ?y f ( x0 , y0 ) ? f ( x0 ? ? h, y0 ? ? l ) k! n!

( *行六面体的体积 )

多元函数取极值的必要条件: f ( x , y ) ? 0, f ( x , y ) ? 0 x 0 0 y 0 0

? ? x ? x0 ? mt ?点法式?? A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 )+C(z-z 0 )=0 ? 参数式??? y ? y ? nt ??????????????????? ? 0 ? ? 三点式??混合积为零???????????????????????????????? 直 ? ? z ? z ? pt *面 ? 0 ? ? ? ? x y z x ? x0 y ? y0 z ? z0 方程 ?截距式?? ? ? ? 1??????????????????????????????? 线 ? ? ? ? 对称式?? a b c m n p 方? ? 一般式 ?? Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ?????????????????? ? ? 程? ? A x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ?一般式 ? 1 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0 ? ?
*面束方程 ? ( A x ? B y ? C z ? D ) ? ? ( A x ? B y ? C z ? D ) ? 0 1 1 1 1 2 2 2 2

?1. f ?( x , y ) ? 0, f y?( x0 , y0 ) ? 0??????????????????????????????????????????????????????? 多元函数 ? x 0 0 2 ?2.(1) AC ? B ? 0, A ? 0, 正定,有极小值;A ? 0, 负定,有极大值 取极值的 ? (2) AC ? B 2 ? 0, A ? 0, 不定,无极值??????????????????????????????????????? 充分条件 ? 2 ? ? (3) AC ? B ? 0, 不能确定????????????????????????????????????????????????????????
求条件极值,用拉格朗日数乘法

? Fx ? 0 ?min(或 max) z ? f ( x, y ) ? , 令 F ( x , y ) ? f ( x , y ) ? ?? ( x , y ), 有 ? ? ? Fy ? 0 ? ( x , y ) ? 0 ??????????????????? ? ?? ( x, y ) ? 0 ?
方向导数:偏导数是函数在*行于坐标轴方向上的变化率,有时需要考虑函 数沿某一指定方向的变化率,这种变化率就是方向导数。

5

方向导数 ?u

?l

?

?u ?u ?u ?u ?u ?u , ) cos ? ? cos ? ? cos ? 梯度 ( , ?x ?y ?z ?x ?y ?z

9.6 格林公式

第 9 章 多元函数积分学
9.1 二重积分

? 1.x ? 型区域I ? b dx y2 ( x ) f ( x, y )dy??????????????????????????????????????????? ?a ?y1 ( x ) ? ? d x2 ( y ) ? 2.y ? 型区域I ? ?c dy ?x ( y ) f ( x, y )dx??????????????????????????????????????????? 1 ? ? ? x ? x ( u , v ) 二重积分 ? 3.换元法?令 ? ? I ? ?? f ( x(u , v), y (u, v)) | J | dudv???? ? y ? y (u, v) D ? ? I ? ?? f ( x, y )d? ? D ? x ? u ? a ? ?1? *移变换?令 ? ? I ? ?? f (u ? a, v ? b)dudv????????????? ? D? ?y ? v?b ? ? ? x ? r cos ? ? I ? ?? f (r cos ? , r sin ? )rdrd? ?? 2 ? 极坐标变换?令 ? ? D? ? y ? r sin ? ?
9.2 三重积分

? ? ?Q ? ? ?? ?x dxdy ? ? Qdy ?Q ?P ?D ? L Pdx ? Qdy ? ( ? ) dxdy ? ??????????????????????????????????????? ? ?? ?? ?P ?x ?y L D ? ? dxdy ? ? Pdx ?? ? ? ? L ? D ?y ? ?Q ?P ? ? ? (i ) ? (i ) ? Pdx ? Qdy ? 0 ? (ii)与路径无关 ? (iii)du ? Pdx ? Qdy ? (iv) ?x ?y ? L ? ? (1)不定积分法????????????????????? ? ? ? ?Q ?P ? ?求Pdx ? Qdy的原函数 ?(2)若 ?x ? ?y , 特殊路径法????????????????????????????????????????????????? ? ? ?(3)凑微分法????????????????????????? ? ? ?
9.7 高斯公式

??
S

?1.二套一,一套二?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? 换元 ? x ? x(u , v, w) ? ?2. ?令 ? y ? y (u, v, w) ? I ? ??? f ( x(u , v, w), y (...), z (...)) | J | dudvdw ? 法 v? ? z ? z (u, v, w) ? ? ? ?x ? u ? a ? *移 ? ? (1) ?令 ? y ? v ? b ? I ? ??? f (...)dudvdw?????????????????????????????? 变换 ? ? v? ?z ? w ? c ? 三重积分 ? ? x ? r cos ? ? I ? ??? f ( x, y, z )dv ? (2) 柱坐标?令 ? ? y ? r sin ? ? I ? ??? f (...)rdrd? dz?????????????????????? ? v 变换 v? ? z?z ? ? ? ? ? x ? r sin ? cos ? 球坐标 ? ? 2 (3) ? 令 ? y ? r sin ? sin ? ? I ? ??? f (...)r sin ? drd? d? ??? ? 变换 v? ? ? ? z ? r cos ? ? 椭球 ? x ? ar sin ? cos ? ? ? (4) 坐标令 ? y ? br sin ? sin ? ? I ? f (...)abcr 2 sin ? drd? d? ? ??? ? v? ? 变换 ? ? z ? cr cos ? ?
9.3 重积分的应用

? ?P dv ? ? ??? ? v ?x ? ?P ?Q ?R ? ?Q Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ??? ( ? ? )dv ? ??? dv ? ? x ? y ? z v ? v ?y ? ?R dv ? ? ??? ? ? v ?z

?? Pdydz
S

?? Qdzdx
S

?? Pdxdy
S

9.8 斯托克公式

? ? ? ?P ?P ? dzdx ? dydx) ? ? Pdx ? ?? ? ?z ?y dydz dzdx dxdy L S ? ? ? ? ? ? ?Q ?Q ? ? ? ? ? Qdx ? ?? dxdy ? dzdy ) ? ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ?x ? y ? z ?x ?z L L S ? ? ? ? P Q R ?R ?R ? dydz ? dxdz ) ? ? Rdz ? ?? ? y ?x ? ? S ?L ? ? ? (i ) Pdx ? Qdy ? Rdz ? 0 ? (ii )与路径无关 ? (iii )du ? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? ? ? L ?R ?Q ?P ?R ?Q ?P ? (iv) ? , ? , ? ? (i ) ? ?y ?z ?z ?x ?x ?y ?
9.9 如何简化计算 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 选择积分顺序(二重积分,三重积分) 选择投影方向(第 II 类曲面积分) 利用对称性与奇偶性 换元 曲线和曲面积分,利用已有方程 利用几何或物理意义 利用三个公式

dxdy ? , 1 ? f x2 ( x, y ) ? f y2 ( x, y )dxdy, EG ? F 2 dudv????? ? (1)曲面面积?面积元素: cos( n , z ) ? ? x ? ( x, y, z )dv ??? ? ? v ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? (2)物体重心?x ? ? ( x, y, z )dv ? ??? v ? ?(3)转动惯量(mr 2 )?对z轴dJ z ? ( x 2 ? y 2 ) ? ( x, y, z )dv?对xy*面dJ xy ? z 2 ? ( x, y, z )dv ? ? ?
9.4 曲线积分

线性代数
第 1 章 行列式
上三角行列式 下三角行列式

?第一类( f ( x, y, z )ds)?代入弧微分公式???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? L ? ? ? 代入参数方程 ? ? [ P(...) x?(t ) ? Q(...) y?(t ) ? R(...) z?(t )]dt ? 第二类( ? Pdx ? Qdy ? Rdz ) ????? ? ? L ( A, B ) ?
9.5 曲面积分

a11 a22 0
次三角行列式

* ? ann
an a2 ? 0 0

a11 a22 *
an a2 a1 *

0 ? a11a22 ...ann ann

*

?第一类( f ( x, y, z )dS )?代入面积元素?????????????????????????????????????????????????? ?? ? S ? ? ?z ?z ? 第二类( ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ) ? ? ?? [ P(? ) ? Q(? ) ? R]dxdy ? x ? y ? S Dxy ?

? (?1)

n ( n ?1) 2

a1a2 ...an

a1

? A * ? 两种特殊的 ? 0 B ? 拉普拉斯( ? * A 0 Laplace)展开式 ? ? ?B 0 B ?

A 0 ? A B * B A ? (?1) mn A B 0

行列式的性质:行列不变;行行变反;倍加行不变。 范德蒙行列式 三对角行列式

6

1 x1 x12

1 x2 x22

1 x3 x32

1 xn xn2 ? xnn?1

1? j ?i ? n

?

a b c a b c a ( xi ? x j )?

0 b c a b c a b c a
?1 k k

3.2 矩阵的秩

D n ? aDn?1 ? bcDn?2

1. 2.

矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零主子式的最高阶数 初等变换不改变矩阵的秩

r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B)??r ( AB) ? min(r ( A), r ( B))
A 是 m× n 矩阵,若 AB=0,则 r ( A) ? r ( B) ? n 标准相抵型

x1n?1 x2n?1 x3n?1

0
重要公式:
* n ?1 ?1

?I PAQ ? ? r ?0

0? ? 0?

同型等秩? 相抵

AB ? A B ?? A ? A ?? A ? A ?? A ? A

3.3 齐次方程组 Ax=0 判定:有非零解? r(A)<n 解的结构:有 n-r 个基础解系。对 A 作初等行变换化为阶梯形矩阵,每个非零 行中第一个非零系数所在列代表的未知数是基本未知量(有 r 个) ,剩余的是 自由未知量,对自由未知量按阶梯形赋值后,再代入求解就可以得到基础解 系。 3.4 非齐次方程组 Ax=b 设 A 是 m× n 矩阵,方程组 Ax=b,则 (1) 有唯一解? r(A)=r(A,b)=n; (2) 有无穷解? r(A)=r(A,b)<n; (3) 无解? r(A)+1=r(A,b)。 解的结构: x ? x0 ? x 3.5 常见题型 1.线性无关的证明,常用思路是是设 k ? ? k ? ? ... ? k ? ? 0 ,两边同乘 1 1 2 2 n n 作恒等变形。 2.Ax=0 和 ATAx=0 同解。

Cramer 法则: x j

? Dj / D

第 2 章 矩阵
2.1 基本概念 奇异矩阵,非奇异矩阵,零矩阵,同型矩阵,单位矩阵,数量矩阵,对角矩 阵,对角块矩阵,对称矩阵,反对称矩阵,逆矩阵,伴随矩阵,正交矩阵 2.2 矩阵的运算 加法,数量乘法,乘法,转置,逆,伴随

( AB)T ? BT AT A?1 ? A* ? AA* ? A* A ? A I A
?1 ?1 ?1 T T ?1 ?1 * * ?1 ?1 n n ?1 n?2

( AB) ? B A ?( A ) ? ( A ) ?( A ) ? ( A ) ?( A ) ? ( A ) ( AB)* ? B* A* ?( A* )T ? ( AT )* ?( A* ) ?1 ? ( A?1 )* ?( A* )* ? A A

?1

3.基础解系的证明:是解,线性无关,n-r

第 4 章 向量空间与线性变换
4.1 基本概念 自然基,标准基,标准正交基,基,维数,坐标,过度矩阵,向量的内积, 欧氏空间,线性空间 4.2 坐标变换 基变换:B1A=B2 坐标变换:x=Ay 旋转变换

? n, r ( A) ? n ? * r ( A ) ? ? 1, r ( A) ? n ? 1 ?0, r ( A) ? n ? 2 ?
2 阶矩阵的伴随矩阵:主对角线互换,副对角线变号 2.3 初等变换 Ei(c) Eij(c) Eij 左乘是行变换,右乘是列变换

? cos ? A?? ? ? sin ?

? sin ? ? ? cos ? ?

1 Ei ( ) Ei (c) ? I ??Eij (?c) Eij (c) ? I ??Eij Eij ? I c
2.4 分块矩阵 同型对角块矩阵

4.3 施密特正交化

?1 ? ?1 ?j ??j ?
D2 ? ? C1 D1 ? ? C2 D2 ??? ? ? ? ? Dn ? ?
?? ?? ??? ?? ? ?1 ? ? An ? ? An
?1

? C1 ? C2 ? ? ? ?
? A1 ? A2 ? ? ? ?
-1

? ? D1 ? ? ??? ? ? ? ? Cn ? ?
?1

? ? ? ? ? Cn Dn ?
An?1 ? ? ? ? ? ? ?

i ? j ?1

? k ? ,k
ij i

1

ij

??

(? j , ?i ) ( ?i , ?i )

4.5 正交矩阵 正交矩阵 ATA=I? 列向量组是标准正交基 设 A,B 是正交矩阵,则 AT , A?1 , AB 也是正交矩阵. Ax,Ay 的长度,夹角和内积保持不变.

? ? A1-1 ? ? A2-1 ? ?? ? ? ? ? An ? ? ?

A2

A1 ? ? ? ? ? ?? ? ? A2-1 ? ? ? A -1 ? ? 1

第 5 章 特征值和特征向量
5.1 特征值和特征向量 概念:特征值,特征向量,特征矩阵,特征多项式,特征方程 定义:Ax=λx 性质: 1. 不同特征值的特征向量是线性无关的 2.

? B 0 ? ? B ?1 ? ? =? ?1 ?1 ? C D ? ? ? D CB
2.5 常见题型

0 ? ? D ?1 ?

??
i ?1

n

i

? ? aii ; ? ?i ? det A
i ?1 i ?1

n

n

求方阵的幂:1.r(A)=1;2.A=B+C;3.相似对角化, An ? P?1?n P 求逆矩阵:公式法,分块矩阵法,初等变换法

3. 4.

kλ, λ+k, λ , λ

m

-1

A 和 AT,AB 和 BA 的特征值相同。

第 3 章 线性方程组
3.1 n 维向量 线性组合,线性表出,向量组等价,线性相关,线性无关,向量组的秩,极 大线性无关组

5.2 相似矩阵 定义:若存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B ,就称 A 相似于 B,记作 A~B。 性质:1.若 A~B,则 A+kI~B+kI,Am~Bm; 2.相似矩阵的特征值相同。 5.3 可对角化的条件 (1)有 n 个线性无关的特征向量;或(2)每个特征值的重数等于对应特征向量子

7

空间的维数。 5.4 实对称矩阵 性质: 1. 实对称矩阵一定是可对角化的; 2. 实对称矩阵的特征值全是实数,特征向量全是实向量,不同特征值的特 征向量是正交的; 3. 存在正交矩阵T,使得 T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn) 求 T:先求得特征向量,再正交化。

1.4 条件概率 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,称
P(B|A)= P( AB) P( A)

为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。 乘法公式 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) 全概率公式 P(A)=P(A|B1)+ P(A|B2)+…+ P(A|Bn) 贝叶斯公式
P(Bi |A)= P ( A | Bi )

第 6 章 二次型
6.1 二次型的定义和矩阵表示 二次型:二次型就是二次齐次多项式(即每项都是二次的) 矩阵表示:xTAx 合同矩阵:若存在存在可逆矩阵 C,使得 CTAC=B,就称 A 合同于 B,记作 A B。

? P( A | B
j ?1

n

j

)

1.5 独立性 设 A、B 是两个事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A、B 相互独立,简称 A、B 独立。 A 与 B 相互独立? A 与 B 相互独立?A 与 B 相互独立?A 与 B 相互独立 ? P(A|B)=P(A| B )=P(A) ? P(B|A)=P(B| A )=P(B)

6.2 化二次型为标准型 1. 2. 3. 正交变换法 配方法 初等变换法

第 2 章 随机变量及其分布
2.1 随机变量 设随机试验 E 的样本空间为 S={e}, X=X(e)是定义在样本空间 S 上的实 值单值函数,称 X=X(e)为随机变量。 随机变量的取值随随机试验的结果而定, 在试验之前不能预知它取什么 值,且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本 质的差异。 2.2 离散型随机变量及其分布律 如果随机变量 X 全部可能的取值是有限个或可列无限个,则称 X 为离 散型随机变量。 P(X=xk)=pk 为 X 的分布律。 几个常见分布: 1. 0-1 分布 P( X ? k ) ? p k (1 ? p)1?k , k ? 1, 2 2. 3. 4. 5. 二项分布 P( X ? k ) ? C k p k (1 ? p)1?k , k ? 0,1, 2,..., n n 泊松分布

6.3 惯性定理和二次型的规范性 惯性定理:对于一个 n 元二次型,不论做怎样的坐标变换使之化为标准型, 其中正*方项的项数和负*方项的项数都是唯一的。 规范型:设 A 为 n 阶实对称矩阵,若 A 的正、负惯性指数分别为 p 和 q,则 A diag(1,…,1,-1,…,-1,0,…,0) 其中 1 有 p 个,-1 有 q 个。 或者说对于二次型 xTAx,存在坐标变换 x=Cy,使得
2 2 2 xT Ax ? y1 ? ... ? y 2 p ? y p ?1 ? ... ? y p ? q

把右端的二次型称为 x Ax 的规范型, 把上面的对角矩阵称为 A 的合同规范型。 合同的充要条件: A、B 有相同的正惯性指数和负惯性指数。 合同的充分条件:A~B。 (二者的前提是,A, B 是实对称矩阵) 合同的必要条件:r(A)=r(B) 6.4 正定二次型和正定矩阵 定义:如果对于任意的非零向量 x=(x1,x2,…,xn)T 都有 xTAx>0,就称 xTAx 为 正定二次型,称 A 为正定矩阵。 二次型正定的充要条件: 1. xTAx 是正定二次型; 2. A 的正惯性指数为 n,即 A T I; 3. 存在可逆矩阵 P,使得 A=P P; 4. A 的特征值全大于 0; 5. A 的顺序主子式全大于 0. 必要条件:1.aii>0;2.|A|>0。

T

P( X ? k ) ?

?k
k!

e ? ? , k ? 0,1, 2,...

几何分布 P( X ? k ) ? pq k ?1 , k ? 1, 2,... 超几何分布

P( X ? k ) ?

k n?k CN CN 1 2 n CN 1 ? N2

, k ? 0,1, 2,...n

概率论与数理统计
第 1 章 概率论的基本概念
1.1 基本概念 随机试验:1.可以重复;2.总体明确;3.单个未知。 样本空间,样本点,随机事件,事件发生,基本事件,必然事件,不可能事 件,差事件,不相容事件,对立事件,逆事件 1.2 频率和概率 在相同条件下,进行了 n 次试验,在这 n 次试验中,事件 A 发生的次 数 nA 称为 A 发生的频数,比值 nA/n 称为 A 发生的频率,并记成 fn(A)。 对随机试验 E 的每一事件 A 都赋予一个实数,记为 P(A),称为时间 A 的概率。 集合函数 P(.)满足下列条件: ①非负性: P(A) ≥0; ②规范性: P(Ω) =1; ③可列可加性:P(A1∪A2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…。 当 n→∞时频率 fn(A)在一定意义下接*于概率 P(A)。

2.3 随机变量的分布函数 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数 F(x)=P(X≤x)称为 X 的分布 函数。 分布函数 F(x)具有以下性质: 1. F(x)是一个不减函数 2. 0≤F(x)≤1,且 F(-∞)=0, F(+∞)=1 3. F(x+0)= F(x),即 F(x)是右连续的 2.4 连续型随机变量及其概率密度 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x),存在非负函数 f(x),使得对于任 意实数 x,均有

F ( x) ? ?

x

??

f (t )dt

? 若A1 , A2 ,..., An互不相容, 则P( A1 ? A2 ? ... ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ... ? P( An ) 加? 广义的,P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? P( A) ? P( AB) ? P( B) ? P( BA) 法? ? ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC ) 公? n n 式 ? P( Ai ) ? ? P( Ai ) ? ? P( Ai Aj ) ? ? P( Ai Aj Ak ) ? ... ? (?1) n?1 P( A1 A2 ... An ) ? i ?1 1?i ? j ? n 1?i ? j ? k ? n ? i ?1

则称 X 为连续型随机变量,其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数,简称概率 密度。 概率密度 f(x)具有以下性质: 1. f(x) ≥0; 2.

?

??

??

f ( x)dx ? 1 ;
x2

3. 4.

P{x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? ? f ( x)dx ;
x1

减法 ? 若B ? A, P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 公式 ?任意的, P( A ? B) ? P( A) ? P( AB)
1.3 等可能概型 1. 样本空间包含有限个元素。 2. 每个基本事件发生的可能性相同。 具有以上两个特点的试验称为等可能概型,也叫古典概型。

若 f(x)在点 x 处连续,则有 F ?( x) ? 几个常见分布:

f ( x) 。

1.

均匀分布

? 0, x ? a ? , ? 1 ,a ? x ? b ? ? ?x?a f ( x) ? ? b ? a , F ( x) ? ? ,a ? x ? b ? ?b ? a 0, 其他 1, x ? b ? ? ? ?

记为 X~U(a,b)

8

2.

指数分布

?? x ? ?1 ? e? ? x , x ? 0 ?? e , x ? 0 f ( x) ? ? , F ( x) ? ? ? 0, 其他 ? 0, 其他 ?

3.3 条件分布 条件分布率:

指数分布和几何分布具有“无记忆性” 3. 正态分布

P{ X ? xi | Y ? y j } ?
f X |Y ( x | y ) ?

P{ X ? xi , Y ? y j } P{Y ? y j }

?

pij p? j

f ( x) ?

μ=0, ζ=1 时,称 X 服从标准正态分布。正态分布具有以下性质
(1) 若 X ~ N ( ? , ? 2 ), 则 X ? ? ~ N (0,1) 3.4 相互独立的随机变量

? 1 x 2??

( x ? ? )2 2? 2

,记为 X~N(μ,ζ )。特别地,当

2

条件概率密度:

f ( x, y ) fY ( y )

?

(2)

F ( x) ? ?(
Φ(-x)=

x??

X 和 Y 相互独立?F ( x, y) ? F ( x) F ( y) ? f ( x, y) ? f ( x) f ( y) X Y X Y

?

)
型)

(连续

(3) (4)

1-Φ(x)

? P{X ? xi , Y ? y j } ? P{X ? xi }P{Y ? y j }(离散型)

若 X ~ N ( ? , ? 2 ), 则aX ? b ~ N (a? ? b, a 2? 2 )

3.5 二维随机变量函数的分布 1. 2. 离散型二维随机变量 列举法 连续型二维随机变量 (1) 分布函数法

2.5 随机变量函数的分布 求随机变量函数的分布: 1. 离散型随机变量函数的分布 列举法:逐点求出 Y 的值,概率不变,相同值合并 2. 连续型随机变量函数的分布 (1) 分布函数法

F ( z ) ? P{Z ? z} ? P( g ( X , Y ) ? z ) ?
(2) 公式法 ①Z=X+Y

FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P( g ( X ) ? y ) ?
(2)

g ( x )? y

?

f ( x)dx

g ( x , y )? z

??

f ( x, y)dxdy

公式法 如果 y=g(x)处处可导且恒有 g’(x)>0(g’(x)<0),则 Y=g(X)也是连续 型随机变量,其概率密度为

fZ ( z) ? ?

??

??

f ( x, z ? x)dx X , Y 对称?

??

??

f ( z ? y, y )dy

? f [h( y )] | h?( y ) |, y ? Rg fY ( y ) ? ? X 0, 其他 ?
其中 x=h(y)是 y=g(x)的反函数。

当 X 和 Y 相互独立时,有卷积公式

f Z ( z ) ? f X * fY ? ?

??

??

f X ( x) fY ( z ? x)dx ? ?

??

??

f X ( z ? y) fY ( y)dy

第 3 章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 设随机试验 E 的样本空间为 S={e},X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在样本空 间 S 上的两个随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量或 二维随机变量。 设(X,Y)是一个二维随机变量,x,y 是任意实数,函数

②Z=max(X,Y)和 Z= min(X,Y)

Fmax ( z ) ? FX ( z ) FY ( z )?Fmin ( z ) ? 1 ? (1 ? FX ( z))(1 ? FY ( z))

第 4 章 随机变量的数字特征
4.1 数学期望 离散型 E ( X ) ?

F ( x, y) ? P{X ? x ? Y ? y} ??? ? P{X ? x, Y ? y}
记成

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。 分布函数 F(x,y)具有以下性质: 1. F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数。 2. 0≤F(x,y) ≤1,且 F(-∞,y)= F(x,-∞)= F(-∞, -∞)=0,F(+∞, +∞)=1。 3. F(x,y)关于 x 右连续,关于 y 也右连续。 4. 对 于 任 意 的 (x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2 , 有 F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1) ≥0。 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限个或可列无限个, 则称 (X,Y)为离散型二维随机变量。P{X=xi,Y=yj}=pij 是(X,Y)的分布律 如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y),存在非负函数 f(x,y), 使得对于任意实数 x,y,均有

?x
k ?1

n

k

pk 连续型 E ( x) ? ??? xf ( x)dx

??

? n ? ? g ( xk ) pk , 离散型 E ( g ( X )) ? ? k ?1 ? ?? g ( x) f ( x)dx, 连续型 ? ???

E (Z ) ? E ( g ( X , Y )) ? ?
性质: 1.E(C)=C 2.E(CX)=CE(X) 3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)

??

??

?

??

??

g ( x, y) f ( x, y)dxdy

F ( x, y ) ? ?

y

??

?

x

??

f ( x, y )dxdy

则称(X,Y)为连续型二维随机变量,其中函数 f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。 概率密度 f(x,y)具有以下性质: 1. f(x,y) ≥0. 2. 3.

? ?
??

??

??

??

f ( x, y )dxdy ? 1 .

4.当 X,Y 相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y) 4.2 方差 D(X)=E{[X-E(X)]2}=E(X2)-E(X)2 性质: 1.D(C)=0 2 2.D(CX)=C D(X) 3.D(X± Y)=D(X)± 2Cov(X,Y)+D(Y)=D(X)± 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}+D(Y)= D(X)± 2[E(XY)-E(X)E(Y)]+D(Y) 4.D(X)=0? P{X=C}=1 常见分布的数字特征: 离散型: 1.0-1 分布 E(X)=p,D(X)=pq 2.二项分布 E(X)=np,D(X)=npq 3.泊松分布 E(X)=D(X)=λ 4.几何分布 E(X)=1/p,D(X)=q/p2 5.超几何分布 E(X)=n●N1/N,D(X)=n●N1/N●N2/N●(N-n)/(N-1) 连续型: 2 1.均匀分布 E(X)=(b+a)/2,D(X)=(b-a) /12 2 2.指数分布 E(X)=1/λ,D(X)1/λ 2 3.正态分布 E(X)=μ,D(X)=ζ 4.3 协方差及相关系数 协方差 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= E(XY)-E(X)E(Y) 性质:

P{( X , Y ) ? D} ? ?? f ( x, y )dxdy .
D
2 若 f(x,y)在点(x,y)处连续,则有 ? F ( x, y )

4.

?x?y
3.2 边缘分布

? f ( x, y )

.

边缘分布函数: FX ( x) ? F ( x, ??), F Y ( y) ? F (??, y) 边缘分布律:

P{ X ? xi } ? ? pij ? pi? , P{Y ? y j } ? ? pij ? p? j
j ?1 i ?1

??

??

边缘概率密度: f ( x) ? ?? f ( x, y )dy, f ( y ) ? ?? f ( x, y )dx X Y ? ?
?? ??

9

1. 2. 相关系数
? XY =

Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y)
Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )

6.2 抽样分布 设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 X 的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是一个连续函数,若 g 中不含未知参数,则称 g(X1,X2,…,Xn)是一个统计量。 常用的统计量: 样本均值

性质:1.| ? 2.| ?
XY

XY

|≤1
XY

X?

|=1? P{Y=ax+b},且当 a>0 时 ?

=1,当 a<0 时 ?

1 n 1 n 2 X i 样本方差 X ? ? ( X i ? X ) ? n i ?1 n i ?1
X?

XY

=-1。 样本 k 阶原点矩

独立一定不相关,不相关不一定独立。 对于二维正态分布,独立与不相关等价。 4.4 矩、协方差矩阵

1 n 1 n k 样本 k 阶中心矩 X ? ? ( X i ? X )k Xi ? n i ?1 n i ?1
n

经验分布函数 F ( x) ? 1 S ( x) ,S(x)表示值小于 x 的随机变量的个数。 n

E ( X ) ,k 阶原点矩
E{[ X ? E ( X )] } ,k 阶中心矩
k

k

Fn ( x) ?? ? F ( x)
P

E ( X Y l ) ,k+l 阶混合矩

k

来自正态总体的几个常用抽样分布: 1. χ2 分布 设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 N(0,1)的样本,则称统计量 服从自由度为 n 的 χ2 分布,记为 χ2~χ2(n). 现 Xi~N(0,1),由定义 X 2 ~ ? 2 (1) ,即 X 2 i i
2 2 ? 2 ? X12 ? X 2 ? ... ? X n

E{[ X ? E( X )]

k

[Y ? E(Y )] },k+l 阶混合中心矩
l

? c11 c12 ? ,协方差矩阵 ? ? ? c21 c22 ?
第 5 章 大数定律和中心极限定理
5.1 大数定律 1. 切比雪夫(Chebyshev)大数定律 设随机变量 X1,X2,…,Xn 相互独立,期望和方差都存在,且它们的方差有 公共上界,则对于任意实数 ε>0,有 2.

1 ~ ?( ,1) ,再由分布的可加性知 2

? 2 ? ? X i2 ~ ?( ,1)
i ?1

n

n 2

E(χ2)=n, D(χ2)=2n t 分布 设 X~N(0,1),Y~χ2 (n),且 X,Y 相互独立,则称随机变量

t?

lim P{|
n ??

1 1 E ( X i ) |? ? } ? 1 . ? Xi ? n ? n i ?1 i ?1
2

n

n

X 服 Y /n

切比雪夫不等式 P{| X ? ? |? ? } ? ? 2

3.

从自由度为 n 的 t 分布,记为 t~t(n). 当 n 足够大时,t 分布*似于 N(0,1)分布。 T 分布的上 α 分位点记为 tα(n),由其概率密度的对称性知 t1-α(n)=- tα(n). F 分布 设 U~χ2(n1),V~χ2(n2),且 U,V 相互独立,则称随机变量 F ? U / n1 服从

?

2.

伯努力大数定律 设随机变量 X1,X2,…,Xn 相互独立且都服从参数为 p 的 0-1 分布,则对于 任意实数 ε>0,有

V / n2

n 1 n lim P{| ? X i ? p |? ? } ? 1,即 lim P{| A ? p |? ? } ? 1 n ?? n ?? n i ?1 n
3. 辛钦大数定律 设随机变量 X1,X2,…,Xn 相互独立,服从统一分布,且具有共同的数学期 望,则对于任意实数 ε>0,有

自由度为的 F 分布,记为 F~F(n1,n2). F 分布的性质: (1) 若 F~F(n1,n22 ),则 1/F~F(n2,n1). (2) 若 t~t(n),则 t ~F(1,n). F 分布的上 α 分位点记为 Fα(n), F
1??

(n1 , n2 ) ?

1 F? (n1 , n2 )
2

lim P{|
n ??

1 n P ?? ? X i ? ? |? ? } ? 1,即X ?? n i ?1

正态总体样本均值与样本方差的抽样分布: 首选,不论 X 服从什么分布,总有 E ( X ) ? ? , D( X ) ? ? , E ( S 2 ) ? ? 2 .

5.2 中心极限定理 1. 列维-林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量 X1,X2,…,Xn 相互独立,服从同一分布,且具有共同的期望和 方差,则 1.

n

X ~ N (? ,

?2
n

)

?X
k ?1

n

k

? n?

*似地

n?

N (0,1),即

X ?? ?/ n

*似地

N (0,1)

2.

(n ? 1) S 2

2.

李雅普诺夫(Liapunov)定理 设随机变量 X1,X2,…,Xn 相互独立,他们具有数学期望和方差:

?2

~ ? 2 (n ? 1), 且 X 与S 2相互独立

E ( X k ) ? ?k , D( X k ) ? ? k2 , k ? 1, 2,..., n,
2 记Bn ? ? ? k2,若存在正数? ,使得当n ? ?时, k ?1 n

3.

X ?? ~ t (n ? 1) S/ n
2 2 2 S12 / S2 ~ F (n1 ? 1, n2 ? 1) ,若 ?1 ? ? 2 ? ? ,则 2 2 ?1 / ? 2

4.

? 1 E{| X k ? ?k |2?? } ? 0,则 k ?1 2 ?? Bn
3.

n

X k ? ? ?k
k ?1

n

*似地

Bn

N (0,1)

棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理 (二项分布以正态分布为极限)

lim P{
n ??

X ? np ? x} ? ?( x) npq

( X ? Y ) ? ( ?1 ? ?2 ) ~ t (n1 ? n2 ? 2), sw ? 1 1 sw ? n1 n2

2 (n1 ? 1) S12 ? (n2 ? 1) S2 n1 ? n2 ? 2

第 7 章 参数估计
7.1 点估计 设总体 X 的分布函数的形式为已知,但它的一个或多个参数未知,借助 于总体 X 的一个样本来估计未知参数的值称为参数的点估计。 1. 矩估计法 用样本原点矩

第 6 章 数理统计的基本概念
6.1 随机样本 随机试验全部可能的观察值称为总体。 每一个可能观察值称为个体。 一个总体对应于一个随机变量 X,一般不区分总体与相应随机变量,笼统称 为总体 X。 被抽取的部分个体叫做总体的一个样本。 来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体同分布的随机变量称为简单随机变量。

ak ?

1 n 来估计总体的原点矩 a ? E ( X k ) , 用样本的 k X ik ? n i ?1

10

中心矩 2.

bk ?

1 n 来估计总体的中心矩 b ? E[( X ? E ( X ))k ] 。 k ( X i ? X )k ? n i ?1

第 8 章 假设检验
8.1 假设检验 拒绝域:当检验统计量落入其中时,则否定原假设。 小概率事件原理:小概率事件在一次试验中实际上不会发生,若在一次试验 中发生了,就认为不合理,小概率的值常根据实际问题的要求,规定一个可 以接受的充分小的数 α(0<α<1),当一个事件的概率不大于 α 时,就认为它是 小概率事件。α 称为显著性水*。 统计推断有两类错误,弃真和存伪,只对犯第一类错误的概率加以控制,而 不考虑第二类错误的检验称为显著性检验。Α 就是允许犯第一类错误的概率 的最大允许值。 假设检验的基本步骤; 1. 根据实际问题的要求,提出原假设 H0 和备择假设 H1; 2. 给定显著性水* α 和样本容量 n; 3. 确定检验统计量以及拒绝域的形式; 4. 按 P{H0 为真拒绝 H0}≤α 求出拒绝域; 5. 取样,根据样本观察值做出决策,是接受 H0 还是拒绝 H0。 8.2 正态总体样本均值与样本方差的假设检验 原假设 H0 检验统计量 备择假设 H1 μ<μ0 μ>μ0 μ≠μ0 拒绝域 z≥zα z≤-zα |z|≥zα/2

最大似然估计法 (1) 写出似然函数

L(? ) ? ? f ( xi , ? )(或L(? ) ? ? p( xi , ? )) .
i ?1 i ?1

n

n

(2) 求出使 L(θ)达到最大值的 ? . L(θ)是 n 个乘积的形式, 而且 L(θ)与 ln L(θ)在同一 θ 处取极值, 因此的 θ 最大似然估计量 ? 可以从 dln(? ) ? 0 (对数似然方程)求得。

d?

(3)

用 ? 作为 θ 的估计量。

7.2 估计量的评价标准 1. 2. 3. 无偏性 E( ? )=θ 有效性 D( ? 1 )≤D( ? 2 ) 相合性
P ? ?? ??

μ≤μ0 μ≥μ0 μ=μ0 (ζ 已知) μ≤μ0 μ≥μ0 μ=μ0 (ζ 未知)
2 2

Z?

X ? ?0 ?/ n

7.3 区间估计 设总体 X 的分布函数 F(x; θ)含有一个未知参数 θ,对于给定值 α(0<α<1),若 由来自 X 的样本 X1,X2,…,Xn 确定的两个统计量 ? ? ? ( X1 , X 2 ,... X n ) 和

t?

X ? ?0 S/ n

μ<μ0 μ>μ0 μ≠μ0

t≥tα(n-1) t≤-tα(n-1) |t|≥tα/2(n-1)

? ? ? ( X1 , X 2 ,... X n ) ,对于任意 θ 满足 P{? ? ? ? ? } ? 1 ? ? ,则称随机区
间 (? , ? ) 是的置信水*为的 1-α 置信区间。 置信水*为的 1-α 置信区间不是唯一的。 区间越小表示估计的精度越高。 7.4 正态总体期望与方差的区间估计 待估参数 μ ζ2 已 知 ζ2 未 知 ζ2 μ 已 知 抽样分布 置信区间

μ1-μ2≤δ μ1-μ2≥δ μ1-μ2=δ ( ? 2 , ? 2 已知)
1 2

Z?

X ?Y ??

μ1-μ2>δ μ1-μ2<δ μ1-μ2≠δ

z≥zα z≤-zα |z|≥zα/2

?

2 1

n1

?

?

2 2

n2

μ1-μ2≤δ μ1-μ2≥δ μ1-μ2=δ ( ? 2 = ? 2 =ζ ,
1 2

X ?? ~ N (0,1) ?/ n
X ?? ~ t (n ? 1) S/ n
1

X?

?
n

z? / 2

t?

X ?Y ?? 1 1 sw ? n1 n2

μ1-μ2>δ μ1-μ2<δ μ1-μ2≠δ

t≥tα(n1+n2-2) t≤-tα(n1+n2-2) |t|≥tα/2(n1+n2-2)

X?

S t? / 2 (n ? 1) n
2 n 2

2

但 ζ2 未知)

?2

?(X
i ?1

n

i

? ? ) 2 ~ ? 2 ( n)

( i ?1

? ( X ? ?) ? ( X ? ?)
i i

n

? 2 ≤ ? 02 ? 2 ≥ ? 02 ? 2 = ? 02
(μ 已知)

??2 /2 (n)
2

, i ?1 2 ) ?1?? /2 (n)
2

?2 ?

1

?2

? ( X i ? ? )2
i ?1

n

? 2 > ? 02 ? 2 < ? 02 ? 2 ≠ ? 02

2 ? 2 ? ?? ( n)

? 2 ? ?12?? (n)
2 ? 2 ? ?? /2 (n ? 1)

μ 未 知 μ1 μ2

(n ? 1) S 2

?2
,

~ ? 2 (n ? 1)

(

(n ? 1) S (n ? 1) S , 2 ) 2 ?? ( n ? 1) ? /2 1?? /2 ( n ? 1)

或 ? 2 ? ? 2 (n) 1?? /2

? 2 ≤ ? 02 ? 2 ≥ ? 02 ? 2 = ? 02
(μ 未知)

?

2 1 2 2

X ? Y ? ( ?1 ? ?2 )

? 已


?

2 1

n1

?

?

2 2

~ N (0,1)

X ?Y ?

?

2 1

n1

?

?

2 2

?2 ?

(n ? 1) S 2

? 2 > ? 02 ? 2 < ? 02 ? 2 ≠ ? 02

2 ? 2 ? ?? (n ? 1)

n2

z? /2

?2

? 2 ? ?12?? (n ? 1)
2 ? 2 ? ?? /2 (n ? 1)

n2



? 12 = ? 22
=ζ2, 但 ζ2 未知

X ? Y ? ( ?1 ? ?2 ) ~ t (n1 ? n2 ? 1), 1 1 sw ? n1 n2 sw ?
2 (n1 ? 1) S12 ? (n2 ? 1) S 2 n1 ? n2 ? 2

X ? Y ? sw n1 ? n2 ? 2)

1 1 ? t? ( n1 n2 2

? 2 ? ?12?? /2 (n ? 1)
? 12 ≤ ? 22 ? ≥ ? 22
2 1

F?

S12 2 S2

? 12 > ? 22 ? < ? 22
2 1

F≥Fα(n1-1,n2-1) F≤F1-α(n1-1,n2-1) F≥Fα/2(n1-1,n2-1) F≥F1-α/2(n1-1,n2-1)

? 12 = ? 22
(μ1,μ2 未知)

? 12 ≠ ? 22

? ?

2 1 2 2

S /S

? /?

2 1 2 1

2 2 2 2

~ F (n1 ? 1, n2 ? 1)

S2 1 ( 12 , S 2 F? (n1 ? 1, n2 ? 1)
2

S12 2 S2 F

1?

1 ) ? ( n1 ? 1, n2 ? 1)
2

版本:5.1,日期 2009/12/13 如果笔记中有错误或遗漏了重要的考点,欢迎反馈。 电子邮件:soulmachine@gmail.com 作者博客:www.yanjiuyanjiu.com [研究研究] 本笔记遵循创作共享协议 2.0,禁止一切商业用途。

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